(شكل ٤٦) متشابهان فهما مركبان من عدة واحدة من مثلثات ت و جـ و و و تَ و جـَ و وَ متشابهة على التناظر وموضوعة بوضع واحد فإذن يتحصل بمقتضى الدعوى السابقة
ت : تَ :: ا ب۲ : اَ بَ۲
جـ : جـَ :: ب س۲ : بَ سَ۲
و : وَ :: س د۲ : سَ دَ۲
وجميع هذه المتناسبات متساوية لأن الشكلين الكثيري الأضلاع حيث انهما متشابهان يكون
ا ب : اَ بَ :: ب س : بَ سَ إلخ
أو ا ب۲ : اَ بَ۲ :: ب س۲
- بَ سَ۲
فإذن نسبة مجموع المقدمات التي هي ت + جـ + و أي كثير الأضلاع ا ب س د ے إلى مجموع التوالي التي هي تَ + جَـ + وَ أي کثیر الأضلاع اَ بَ سَ دَ ےَ كنسبة المقدم وهو ا ب۲ : تاليه اَ بَ۲ وبهذا يثبت المطلوب
(۸۳) النسب التي بين سطحي دائرتين كالنسب التي بين مربعي نصفي قطريهما أو مربعي قطر بهما أو مربعي محيطيهما
فقد تقدم في بند (۷٥) ان سطح الدائرة المشار له هنا بالحرف س = ب ر۲ باعتبار ان ر من نصف قطر الدائرة وان ب هي نسبة المحيط إلى القطر فإذا فرضنا دارة اخرى نصف قطرها رَ كان بمقتضى ذلك سَ = ب ر۲ فإذن ينتج من هاتين المعادلتين متناسبة نظمها هكذا
س : سَ :: ب ر۲ : ب رَ۲ :: رَ : رَ۲
