ولأجل استخراج الوسط المتناسب بين عدد من اضرب أحدهما في الآخر جذر حاصل الضرب هو الوسط المتناسب كما هو مقرر في علم الجبر
(۱۰۳) كيف يقسم خط الى متناسبة ذات وسط وطرفين
ليكن المستقيم ا ب من (شكل ٨٦) هو المطلوب قسمته إلى متناسبة ذات وسط وطرفين فأقم س ا عموداً على ا ب وخذ س ا = ۱٢ ا ب واجعل النقطة س مركزاً وببعد نصف القطر س ا ارسم محيطاً وصل س ب وخذ ب ے = د ب فالنقطة ے تقسم ا ب كما يقتضيه منطوق المسئلة وذلك لأنه بسبب أن ا ب مماس للمحيط يكون بمقتضى بند (٥٦)
ش ب : ا ب :: ا ب : ب د
ثم ش ب - ا ب : ا ب :: ا ب - ب د : ب د
لكن ش ب - ا ب = ش ب - ش د = ب د
و ا ب - ب د = ا ب - ب ے = ا ے
فإذن المتناسبة السابقة تصير هكذا ب د : ا ب :: ا ے : ب د
فإذا وضعنا الوسطين موضع الطرفين ووضعنا موضع ب ے يكون ا ب : ب ے :: ب ے : ا ے
ومن حيث أن ا ب أكبر من ب ے يكون ضرورة ب ے > من ا ے فإذن الجزء ب ے الذي هو أكبر جزء من الخط ا ب هو الوسط المتناسب بين ا ب و ا ے
ويتضح بهذا العمل أن الخط القاطع وهو ب ش منقسم في النقطة د إلى متناسبة ذات وسط وطرفين
(١٠٤) كيف يستخرج ضلع من مربع مكافئ لمستطيل مفروض ليكن ب و ش قاعدة المستطيل المفروض وارتفاعه و خ ضلع المربع المطلوب من الواضح انه بمقتضى نص المسئلة يلزم أن يكون
ب × ش = خ٢ أو ب : خ :: خ :: ش
يعني أن ضلع المربع هو الوسط المناسب بين قاعدة المستطيل وارتفاعه فإذن
