و س د = ض = √ ا س۲ - ا د۲ = √ ب۲ - (ب۲+س۲-ا۲۲س)۲
فبناء على ذلك يكون
سطح ا ب س = س ض۲ = س۲ = √ ب۲ - (ب۲+س۲-ا۲۲س)۲
فإذا أدخلنا س۲ في الجذر يعني ضربنا جميع الداخل تحت العلامة في س۲٤ ثم حوّلناه إلى مقام واحد يتحصل
سطح ا ب س = √ ٤ب۲+س۲-(ب۲س۲-ا۲)۲١٦
فبسط الكسر الذي تحت الجذر يدل على فاضل المربعين فإذن يتحصل كما هو مقرر في علم الجبر
سطح ا ب س = √ (۲ ب س + ب۲ + س۲ - ا۲)٤ (۲ ب س - ب۲ - س۲ + ا۲)٤
= √ [(ب + س)۲-ا۲][ا۲-(ب - س)۲]٤×٤
= √ (ب+س+ا)۲(ب+س-ا)۲(ا+ب-س)۲(ا-ب+س)۲
فإذا اختصرنا بجعل ا + ب + س = ط يتحصل ب + س - ا۲ = ط۲ - ا و ا - ب + س۲ = ط۲ - ب و ا + ب - س۲ = ط۲ - س ولهذا يكون
سطح ا ب س = √ ط۲ (ط۲-ا)(ط۲-ب)(ط۲-س)
ومنه ينتج أن سطح المثلث الذي أضلاعه الثلاثة معلومة يساوي جذر مربع الحاصل من الأربع مكررات التي أولها نصف محيط المثلث والثلاثة الاخرى هي الفواضل الثلاثة التي تحصل بطرح كل واحد من الأضلاع على التوالي من نصف المحيط المذكور
وهذه المعادلة نافعة جدا في المساحة لاتنا إذا حللنا مضلعا مستقيم الخطوط
