مفتاح الحساب/المقالة الأولى/الباب الثالث

الباب الثالث
في الضرب

وهو في الصحاح طلب أمثال أحد العددين بعدة الآخر، ويسمى أحدهما مضروباً والآخر مضروباً فيه، والتعريف الجامع هو تحصيل عدد يكون نسبته إلى أحد المضروبين كنسبة المضروب الآخر إلى الواحد، أمّا ضرب ما دون العشرة بعضها في بعض فقد أوردناه في جدول:

جدول ضرب ما دون العشرات

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

ووضعنا أحد المضروبين في طول الجدول والآخر في عرضه، وحاصل الضرب في الموضع المحاذي لهما أي ملتقاهما، والجدول هذا فعلى المحاسب أن يحفظه ويمكنه في الذهن ليسهل عليه العمل بما زاد عليه.

أمّا ضرب ما فوق العشرة فإن كان أحد المضروبين مفرداً نضرب العدد المفرد بصورته إن كان أكثر من الواحد في كل واحد مما في مراتب المضروب فيه ونضع آحاد الحاصل تحت تلك المرتبة محاذية لها بعد أن نخط بينهما بفاصلة وعشراته على يساره إن كان مع الحاصل عشرات ويكون آحاد كل حاصل محاذية لعشرات ما يتقدمه فحصل تحت الخط الفاصل في أكثر الحال سطر إن نجمعهما كما ذكرنا في عمل الجمع ونضع للحاصل سطراً آخر ونقلنا إليه أصفار المضروب فيه إن كانت معه ثم نضع على يمين سطر الحاصل صفراً أو أصفاراً بعدة الأصفار التي كانت مع المفرد المضروب إن كانت معها مثاله أردنا أن نضرب الأربعة في الثمانية حصل 32 وضعنا الاثنين تحت الثمانية والثلاثة تحت السبعة في جنبها ثم ضربناها أيضاً أعني الاربعة في السبعة حصل 28 وضعنا تحت السبعة الثمانية حذاً السبعة تحت الثلاثة والاثنين على يسار الثمانية ثم ضربناها في الأربعة حصل 16 وضعنا الستة تحت الأربعة والواحد في يسارها ثم ضربناها في الخمسة حصل 20 وضعنا الصفر تحت حذاً الخمسة تحت الواحد والاثنين على يساره فوقع تحت الخط الفاصل سطران جمعناهما كما ذكرنا في عمل الجمع ونقلنا الصفرين الذين مع المضروب فيه إلى سطر الحاصل حصل هذا العدد 2,191,200

أربعة في هذا العدد	547,800
سطر العمل	163,200
	2,028,000
حاصل الضرب	2,191,200

ولو كان المفرد المضروب ليس من الآحاد كالأربعة آلاف مثلاً نضع على يمين الحاصل الأصفار الثلاثة التي مع المفرد المضروب الذي هو أربعة الأف ليصير الحاصل هكذا 2,191,200,000 وإن كان المفرد المضروب مجرداً أعني يكون واحداً في أي مرتبة كان نقلنا الأصفار التي معه إلى يمين المضروب فيه فحسب

وأن لم يكن أحد المضروبين مفرداً فنرسم شكلاً ذا أربعة أضلاع ونقسم طوله بعدة مراتب أحد المضروبين وعرضه بعدة الآخر بخطوط طوليه وعرضيه لينقسم الشكل بمربعات صغار ثم نقسم كل مربع بمثلثين فوقاني وتحتاني بخطوط مؤرّبة متوازية بحيث ينقسم من كل مربع الزاوية الفوقانية اليمنى والتحتانية اليسري ويسمى هذا الشكل بالشبكة ثم نضع أحد المضروبين فوق الشكل بحيث يقع كل مرتبة منه فوق المربع على الولاء والآخر على يساره بحيث يكون العشرات فوق الآحاد والمئات فوق العشرات وهكذا متصاعدة ونضرب كل واحد من مفردات المضروب بصورته في كل واحد من مفردات المضروب فيه بصورته ونضع الحاصل في المربع المحاذي لكل واحد من المضروبين الآحاد في المثلث التحتاني والعشرات في المثلث الفوقاني وكل مرتبة يكون فيها صفر فيترك المربعات التي يحاذيها خالية أو نضع في مثلثاتها التحتانية صفراً لإن ضرب الصفر في أي عدد يكون صفراً ثم نضع تحت المثلث التحتاني من المربع الواقع على ملتقى مرتبتي الآحاد من المضروبين ما فيه بعينه وهو أول سطر الحاصل ثم نجمع ما بين الخطين المؤرّبين الذين كان بعده ونضع الحاصل على يسار ما وضعنا أولاً في السطر الحاصل إن كان أقل من العشرة وإلا نضع آحاده ونزيد لكل عشرة واحد أعلى حاصل الضرب المؤرّب الذي كان بعده وهكذا نجمع ما في كل سطر مؤرب إلى أن يتم وإن لم يكن في أحد السطور المؤربة عدد وضعنا لأجله صفراً في السطر الحاصل مثاله أردنا أن نضرب هذا العدد 7,806 في هذا العدد 175 فرسمنا الشكل كما قلنا ووضعنا المضروبين فوقه ويساره ثم ضربنا السبعة التي وقعت في مرتبة الألوف بصورته في الواحد فكان الحاصل أيضاً سبعة وضعناها في المثلث التحتاني من المربع والواقع في ملتقاهما ثم ضربنا السبعة أيضاً في السبعة حصلت تسعة وأربعون وضعناها في ملتقاهما الآحاد في المثلث التحتاني والعشرات في الفوقاني ثم ضربناها في الخمسة ووضعنا الحاصل كذلك في ملتقاهما وهكذا عملنا بالثمانية التي وقعت في مرتبة المئات وبالستة التي وقعت في مرتبة الآحاد وتركنا السطر المحاذي للصفر خالياً ثم جمعناها في كل سطر من السطور المؤرّبة كما ذكرنا في الموامرة إلى أن يحصل تحت الشكل سطر الحاصل وهذه الشبكة

6	0	8	7
6	0	8	7	1
4 2	0	5 6	4 9	7
3 0	0	4 0	3 5	5
0	5	0	6	6	3	1

وإن كان في مرتبة الآحاد من أحد المضروبين أو كليهما صفراً وكان في الآحاد والعشرات والمائت وهكذا في المراتب المتوالية من الجانب الأيمن لم تحتج إلى أن نرسم الشبكة بقدر جميع المضروب والمضروب فيه كما ذهب عليه بعض اصحاب هذا الفن بل نرسم الشبكة بقدر باقي المراتب بعد حذف الأصفار المتوالية حتى إذا حصل سطر الحاصل نضع على يمينه صفراً أو أصفاراً بعده مجموع الأصفار المتوالية التي حذفناها من المضروبين أو أحدهما

نوع آخر ولنا أن نرسم الشبكة صورته ونقسم كل مربع منها بمثلثين بخطوط طولية بحيث ينقسم من كل مربع الزاويتان المتقابلتان أعني الفوقانية والتحتانية ثم نضع أحد المضروبين على خارج الضلع الأيمن والفوقاني والآخر على الايسر الفوقاني على الولاء من اليمين إلى اليسار ونضرب كل واحد من مفردات المضروب في كل واحد من مفردات المضروب فيه ونضع الحاصل في المربع الذي وقع في ملتقاهما الآحاد في المثلث الأيمن والعشرات في المثلث الأيسر إلى أن يتم ثم نخط تحت الشبكة خطاً ونضع ما في المثلث الأيمن الذي وقع في الزاوية اليمنى من الشبكة تحت الخط بعينه ثم نجمع ما كان فيما بين الخطين الطوليين اللذين عن يساره وتضع الحاصل على يسار ما وضعنا أولاً ثم ما في السطر الذي عن يساره وهكذا إلى أن يتم مثاله أردنا أن نضرب هذا العدد 358 في هذا العدد 624 رسمنا الشبكة المؤرّبة كما ذكرنا وتممنا العمل على هذه الصورة

	4	2	6
3	2 1	6 0	8 1
5	0 2	0 1	0 3
8	2 3	6 1	8 4

2

9

3

3

2

2

نوع آخر لا يحتاج فيه إلى رسم الشبكة مستنبط عن النوع المتقدم والعمل فيه أن نضرب ما في أول مراتب المضروب أعني من جانب اليمين بصورته في كل واحد مما في مراتب المضروب فيه بصورته اخذاً من اليمين إلى اليسار ونضع الحاصل الأول وإن لم يكن مع الحاصل عشرات نضع موضعها صفراً وهكذا نعمل في كل ضرب لئلا يتخلل ونضع آحاد الحاصل الثاني تحت عشرات الحاصل الأول وآحاد الثالث تحت عشرات الثاني وهكذا نضع آحاد كل حاصل تحت عشرات حاصل كل ضربه في المرتبة المتقدمة منه بالغاً ما بلغ ثم نبدأ بضرب ما في ثاني مراتب المضروب بصورته في كل واحد مما في مراتب المضروب فيه بصورته اخذاً من اليمين إلى اليسار أيضاً ونضع آحاد الحاصل الأول فوق عشرات حاصل أول ضرب مراتب المضروب في أول مراتب المضروب فيه وآحاد الثاني تحت عشرات الأول هكذا إلى أن يتم ثم نبدأ بضرب ثالث مراتب المضروب بصورته في كل واحد مما في مراتب المضروب فيه بصورته كما ذكرنا ونضع آحاد الحاصل الأول فوق عشرات حاصل ضرب المرتبة المتقدمة من المضروب في المرتبة الأولى من المضروب فيه هكذا إلى أن يتم العمل فحصل أعداد بعضها فوق بعض نجمعها كما هو رسم الجمع فاحصل فهو المطلوب مثاله أردنا أن نضرب أحد العددين المذكورين في الآخر وهما

358 
624

بدأنا بضرب الثمانية في الأربعة أولاً حصل 32 وضعنا ثم ضربنا الثمانية أيضاً في الاثنين حصل 14 وضعناه بحيث وقعت الستة تحت الثلاثة ثم ضربنا الثمانية أيضاً في الستة حصل 48 وضعناه بحيث وقعت الثمانية تحت الواحد ثم بدأنا بالخمسة وضربناها في الأربعة أولاً حصل 20 وضعناه بحيث وقع الصفر تحت الاثنين ثم ضربنا الخمسة في الستة حصل 35 وضعناه بحيث وقع الصّفر تحت الواحد ثم بدأنا بالثلاثة وضربناها في الأربعة أولاً حصل 12 وضعناه بحيث وقع الاثنان فوق الاثنين ثم ضربنا الثلاثة في الاثنين حصلت ستة وضعناها تحت الواحد ووضعنا على يسار الستة صفراً لئلا يتخلل ثم ضربنا الثلاثة في الستة حصل 18 وضعناه بحيث وقعت الثمانية تحت الصفر فحصل أعداد بعضها فوق بعض جمعناها كما ذكرنا في عمل الجمع هكذا

   12
  0620
 181032
  3016
+  48
________
 223392

نوع آخر نضرب كل واحد من مفردات المضروب بصورته على الولاء في المضروب فيه بطريق ما كان أحد المضروبين مفرداً كما ذكرنا حتى يحصل من كل ضرب في أكثر الحال سطران الخط تحتهما خطاً عرضياً ونضع كل السطرين اللذين حصلا من ضرب تحت آخرين على الولاء بحيث يقع آحاد كل السّطرين محاذية لعشرات السطرين المتقدمين عليهما فيحصل أعداد بعضها فوق بعض نجمعها كما هو رسم الجمع مثاله ضربنا هذا العدد 456 في هذا العدد 2,783 عملنا هكذا

4218
 1248
_________
 3515
  1040
_________
  2812
   832
_________
1,269,048

ولا يخفى ذلك على الذكي إذا تأمل فيه وهذا النوع أسهل من سائر الأنواع إلا أن الشبكة أقرب إلى فهم المبتدئين وإن كانت مراتب المضروب والمضروب فيه كثيرة فالأولى أن نزيد أحدهما على نفسه ثم المجموع ثم على المجموع هكذا ثمانية مرات أو تسعة ونضع كل حاصل تحت الحاصل المتقدم في جدول بحيث يكون الآحاد كلها متحاذية وكذلك كل مرتبة فهي حواصل ضربه في الأرقام التسعة ونضع على يمينها الأرقام التسعة في جدول آخر بحيث يكون كل حاصل بإزاء المضروب فيه من الأرقام التسعة تسميه بجدول تضاعيف ذلك العدد ثم ندخل فيه ونأخذ بإزاء آحاد المضروب الآخر ثم بإزاء عشراته ثم بمائته وهكذا إلى آخره ونضع المأخوذ الثاني تحت الأول بحيث يكون آحاده محاذية لعشرات الأول والمأخذ الثالث تحت الثاني بحيث يكون آحاده تحت عشرات الثاني وهلم جرا ثم نجمع الجميع والحاصل هو المطلوب وجدول تضاعيف أحد المضروبين المذكور في العمل المتقدم هكذا

1	2,783
2	5,566
3	8,349
4	11,132
5	13,915
6	16,698
7	19,481
8	22,264
9	25,047
10	27,830

وعمل الضرب المذكور عنه هكذا

اخذنا بإزاء الستة	16,698
اخذنا بإزاء الخمسة	139,150
اخذنا بإزاء الأربعة	1,113,200
الحاصل	1,269,048

وجميع ما في هذا الباب مما استنبطته سوى الشبكة الأولى