مفتاح الحساب/المقالة الخامسة/الباب الرابع/الفصل الثالث

مفتاح الحساب/المقالة الخامسة/الباب الرابع

المؤلف: غياث الدين الكاشي



الفصل الثالث
مشتمل على ثمانية أمثلة مجهولاتها مستخرجة بالقوانين الهندسية


تنشيطًا للمتعلمين وترغيبًا لهم بتحصيل الرياضيات

المثال الأول رمح قائم في الماء والخارج منه ثلاثة أذرع أماله الريح حتى غاص في الماء فصار رأسه مع سطح الماء من غير أن زال أصله من موضعه وكان البعدين مطالعه الأول وبين مغيبه في الماء خمسة أذرع أردنا معرفة طول الرمح فرضنا سطح الماء ا ب والرمح قيامه جـ د وحين بلوغ رأسه سطح الماء ب د فيكون ما بين مطلعه ومغيبه هـ ب والخارج منه عن سطح الماء حين قيامه جـ هـ فكانه رسم بحركته قوس جـ ب ما لم نزل أصله وهو د من موضعه فيكون الرمح نصف القطر و هـ ب نصف وتر، فبالقاعدة الثامنة والأربعين وبرهانها في الشكل الرابع والثلاثين من المقالة الثالثة من الأصول حصلنا مربع هـ ب ما بين المطلع والمغيب كان خمسة وعشرين وهو مساو لسطح جـ هـ في تمامه إلى القطر فقسمناه على جـ هـ وهو ثلاثة خرجت من القسمة ثمانية وثلث زدناها على جـ هـ أي الثلاثة بلغ أحد عشر وثلث وهو مقدار قطر دائرة يكون جـ ب قوسًا منها فنصف القطر خمسة وثلثان وهو مقدار جـ د طول الرمح.

وبالجبر والمقابلة فرضنا هـ د شيئًا وهو ما كان من الرمح في الماء قيامه فيكون مربعه مالا وكان مربع هـ ب خمسة وعشرين مجموعهما مال وخمسة وعشرون وهو يساوي مربع ب د بالقاعدة السادسة والأربعين وبرهانها في الشكل السابع والأربعين من المقالة الأولى من الأصول وهو يسمى بالشكل العروس ويكون ب د أي جـ د طول الرمح شيئا وثلاثة فيكون مربعه مالا وستة أشياء وتسعة وهو معادل لمجموع المربعين الأولين وبعد اسقاط المشتركة تكون ستة أشياء معادلة لستة عشر قسمنا العدد على عدد الأشياء خرج اثنان وثلاثين وهو الشيء المجهول اعنى هـ د زدنا عليه ثلثه وهي جـ هـ بلغت خمسة وثلثان وهو طول الرمح.

المثال الثاني رمح بعضه في الماء وبعضه خارج منه وهو ثلاثة أذرع وهو مائل أي ليس بقائم فأماله الريح حتى غاصَ في الماء فكان البعد بين مطلعه الأول وبين مغيبه أربعة أذرع والبعد بين رأسه في الأول وبين مغيبه ثلاثة أذرع وأردنا أن نعرف طول الرمح، وليكن ا ب سطح االماء و جـ د الرمح و هـ د الخارج منه و هـ ب ما بين مظهره ومغيبه و د ب البعد بين رأسه في الموضع الأول، وبين مغيبه، فأخرجنا من هـ عمود هـ ر على د ب ومن جـ عمود جـ ح عليه أيضًا، فوقع العمود على منتصف خط د ب بالشكل الثالث من المقالة الثالثة من الأصول، فبالشكل الثالث عشر من الثانية من الأصول ونقصنا مربع هـ ب وهو ستة عشر من مجموع مربعي هـ د، د ب وهو ثمانية عشر بقي اثنان قسمناهما على ضعف د ب وهو ستة خرج من القسمة ثلث ذراع وهو خط د ر ولأن نسبة د ر إلى د هـ كنسبة د ح إلى نسبة د جـ لتشابه مثلثي ر د هـ، ر ح جـ وكان ثلث ذراع و د هـ ثلاثة أذرع فيكون نسبة د ح إلى د هـ كنسبة التسع فيكون نسبة د ح إلى د جـ كذلك وكان ر ح نصف د ب ذراعًا ونصفا فيكون د جـ ثلاثة عشر ذراعًا ونصف وهو طول الرمح.

المثال الثالث إذا كانت زاوية ميل الرمح عن سطح الماء نصف قائمة والخارج من ثلاثة أذرع وما بين مظهره ومغيبه أربعة أذرع فنعيد الشكل المتقدم ونخرج من نقطة د عمود د ح على ا ب ولما كانت زاوية د هـ ب نصف قائمة يكون جيب زاوية د هـ ح، مب كه له وهو مقدار د ح على ان د هـ ستون أما على أنه ثلاثة أذرع د ح، ب ر يو مه وهو ذرعان و د مو مه ثالثة منه و هـ ح مثله ويبقى ح ب، ا نب مجـ يه مربعه جـ لا مه ب مط مربع د ح، د ل ا ب مط مجموعهما ح ا مو هـ لح رابعة جذره ب ن ا ثانية وهو خط د ب فيكون جيب زاوية ب د ح لط مو مح قوسه ما لا مد فزاوية هـ د ب، نو لا مد ولما كانت حادة علم أن المسئلة غير مستحيلة فتكون زاوية د هـ تمام زاوية هـ د ر، ح كح يو جيبه جـ لز نح وهو خط على أن د هـ ستون أما على أنه ثلاثة أذرع فتكون خط د ر، ؛ ي نجـ ند وخط د ح أعني نصف ر ب وهو ب ن تكون ا كه ؛ ل ونسبة إلى كنسبة د ر إلى هـ د فيكون ر جـ، كجـ كد ا وهو طول الرمح اعني ثلاثة وعشرين ذراعًا و كد ا ثانية وذلك ما أردناه.

المثال الرابع نخلتان قائمان على سطح الأفق أحديهما عشرون ذراعًا والآخرى خمسة وعشرون ذراعًا والبعد بينهما ستون ذراعًا وفيما بينهما وبركة وعلى رأس نخلة طائر رايًا في الماء سمكة، فطار إليها في أن واحد طيرانا واحدا متساويا على خطين مستقيمين ووصلا إليها معًا وهي على خط مستقيم واصل بين اصلي النخلتين نريد أن نعرف مقدار ما طار كل منهما والبعد بين متلقاهما أي موضع السمكة واصل كل واحدة من النخلتين وليكن ا ب البعد بين أصلي النخلتين و ا جـ النخلة العظمي و ب د الصغرى ونقطة هـ موضع التلاقي موضع السمكة وكل واحد من جـ هـ، د هـ مقدار ما طار كل واحد من الطائرين وهما متساويان ففرضناه هـ ب البعد بين نقطة التلاقي واصل النخلة الصغرى شيئا يكون مربعه مالا ومربع ب د النخلة الصغرى أربعمائة مجموع المربعين مال وأربعمائة حفظناه ولما كان بعد نقطة التلاقي عن أصل النخلة الصغرى اعني هـ ب شيئا يكون ا هـ بعده عن أصل النخلة الكبرى ستون ذراعًا إلا شيئا مربعه ثلاثة الآف وستمائة ذراع ومال إلا مائة وعشرين شيئا وهو معادل لما حفظناه، وبعد اسقاط المشترك يكون مائة وعشرين شيئا معادلا لثلاثة الأف وثمانمائة وخمسة وعشرين قسمنا العدد على عدد الأشياء خرج الشيء المجهول أحد وثلاثين ذراعًا وسبعة اثمان ذراع وهو هـ ب بعد نقطة التلاقي عن أصل النخلة الصغرى فيكون ا هـ بعدها عن الكبرى تمام ذلك إلى ستين وهو ثمانية وعشرون ذراعًا وثمن ذراع مربع الأول

1016
1
64

ومربع الثاني

791
1
64

مجموع المربع الأول وطول النخلة الصغرى

1416
1
64

وهو مساو لمجموع المربع الثاني وطول النخلة الكبرى وهو مربع ما طار كل منهما جذره سبعة وثلاثون ذراعًا وثلاثة وعشرون جزءًا من مائة تقريبًا

المثال الخامس مثلث قاعدته ثمانية عشر واحد الضلعين الباقيين نصف الآخر والعمود الخارج من الزاوية التي يوترها القاعد الواقعة عليها اثنان واردنا نعرف مقدار كل واحد من ضلعيه الباقيين وليكن المثلث ا ب جـ وقاعدة ب جـ معلوم وكذا عمود ا ب وضلع ا جـ نصف ضلع ا ب وأردنا كميتها فنخرج قاعدة ب جـ ونجعل جـ هـ ونجعل جـ هـ مثل ت جـ ونخرج ا جـ ونجعل جـ د مثل ا جـ ونصل هـ ر ونخرجه ونجعل ر ح مثل جـ ر ونصل ب ح وننصف ر هـ على ط ونصل ا ط فلان جـ ر مثل ا جـ و جـ هـ مثل وزاويتي جـ المتقابلتين متساويتان فبالسادس من سادسه الأصول وبالرابع منها تكون مثلث ر هـ جـ مساويًا ومشابهًا لمثلث ا ب جـ فزاوية ا ب جـ مساوية لزاوية جـ هـ ر فـ ا ب مواز لـ هـ ح بالسابع والعشرين من أولى الأصول ولأن كل واحد من ح ر، ر ط مثل ا جـ فيكون جـ ط مساويًا لـ ا ب وهو مواز له فيكون ا ط، ب ح متوازيان متساويان بالثلاثة والثلاثين من أولى الأصول ولان ا ر مثل ا ب و ر ط مثل ا جـ وزاويتا ا ب جـ، ا ر ط متساويتان لتوازي ا ب، ط هـ فيكون مثلث ر ا ط مثل مثلث ا ب جـ فيكون ا ط مساويًا لـ ب جـ القاعدة ومثلثا هـ ط ي، هـ ح ب متشابهتان لتوازي خطي ط ي، ب ح وكان هـ ط ثلث هـ ح فيكون هـ ي ثلث ب هـ ويكون ثلثي هـ جـ بل ب جـ وبقي جـ ي ثلث هـ جـ بل ب جـ ولان مثلثي ا ر ط، هـ ر جـ متساويين متشابهين و ا جـ مثل هـ ط وزاوية ا جـ هـ مثل زاوية ا ط هـ فيكون ا ي مثل هـ ي وهو ثلثان القاعدة فنقصنا مربع ا د العمود وهو أربعة عن مربع ا ي ثلثي القاعدة وهو 144 بقي مربع د ي، 140 أخذنا جذره فكان احد عشر و 832 ثالث الأعشار وهو خط د ي نقصناه منه جـ ي ثلث القاعدة وهو ستة بقيت خمسة و 832 ثالث الاعشار وهو خط د جـ مربعه أربعة وثلاثون و 12224 سادس الأعشار ومربع ا د العمود أربعة مجموع المربعين ثمانية وثلاثون و 12,224 سادس الأعشار أخذنا جذره فكان ستة و 1,662 رابع الأعشار وهو مقدار ضلع ا جـ وضعفه يكون مقدار ا ب وهو المطلوب

والجبر والمقابلة فرضنا د جـ شيئا فيكون مربع ا جـ مالا وأربعة ومربع ا ب أربعة أمثاله أي أربعة أموال وستة عشر وبقي ب د ثمانية عشر الا شيئا مربعه 324 ومال إلا 36 شيئا جمعناه مع مربع ا د بلغ 328 ومال إلا 26 شيئا وهو معادل الأربعة أموال وستة عشر وبعد الجبر والمقابلة يكون 312 معادلا لثلاثة أموال و 36 شيئا وبعد الرد يكون 154 معادلا لمال واحد واثني عشر شيئا ربعنا نصف عدد الأشياء صار 36 زدناه على العدد بلغ 140 أخذنا جذره فكان كما سبق أحد عشر و 832 ثالث الأعشار نقصنا منه نصف عدد الأشيئا بقيت خمسة و 831 ثالث الأعشار وهو الشيء المجهول اعني د جـ والباقي كما سبق

المثال السادس مثلث قاعدته ستة عشر واحد الضلعين الباقيين ثلاثة أمثال الآخر والعمود الخارج من الزاوية التي بوترها القاعدة الواقع عليها ثلاثة واردنا معرفة الضلعين الباقيين وليكن المثلث ا جـ د و ا جـ القاعدة معلومة وكذا عمود ب ي ونريد معرفة ضلعي ا ب ب جـ وليكن النسبة بينهما معلومة وهي أن ا ب ثلاثة أمثال ب جـ ولاستعلام كميتهما نخرج ا جـ إلى د حتى يصيير ا د ثلاثة أمثال ا جـ وكذا نخرج ب جـ إلى هـ حتى يصيير ب هـ ثلاثة أمثال ب جـ ونصل د هـ ونخرجه إلى ر ليكون هـ ر مساويا لـ هـ جـ ونصل ا ر نأخذ ح ب بقدر ب جـ ونصل ب ط ح ولان زاويتي ب جـ ا، هـ جـ د متساويتان وضلع جـ د ضعف ا جـ و هـ جـ ضعف ب جـ تكون مثلثا ا ب جـ، د هـ جـ متشابهين ولان زاويتي ب ا جـ، هـ د جـ متساويتان تكون خطا ا ب، ر د متوازيين ولان ر هـ ضعف ر هـ ضعف ب جـ و هـ ح مثل ب جـ فد ح خمسة اثمان لـ د جـ فيكون د ط خمسة أثمان ا د ولان مثلث ب جـ ط مشابه لمثلث د ح ط و ب جـ خمس د ح فيكون ب ط خمس د ط فهو ثمن ا د ولما كان ا د ثلاثة أمثال ا جـ القاعدة فيكون ب ط ثلاثة أثمان ا جـ ولما كانت القاعدة ستة عشر فيكون ب ط ستة ولان جـ ط فضل جـ د ضعف القاعدة بل ثمنى ا د على د ط خمسة أثمان ا د فيكون ثلث الثمن لا د بل ثمن ا جـ القاعدة وهو ثلث ب ط فيكون اثنين فإذا نقصنا مربع ب ي وهو تسعة عن مربع ب ط وهو 36 بقى مربع ط ي 47 أخذنا جذره فكان خمسة و 1961 رابع الاعشار ربعناه صارت عشرة و 21,506 خامس الأعشار زدنا عليه مربع ب ي بلغت تسعة عشر و 21,506 خامس الأعشار أخذنا جذره فكان أربعة و 3,848 رابع الأعشار وهو ضلع ب جـ فيكون صلع ا ب ثلاثة عشر و 1544 رابع الأعشار وهو المطلوب.

المثال السابع نريد أن نضع في داخل مثلث نقطة ونصل بينها وبين زوايا المثلث خطوطا ليصير ثلاثة مثلثات بحيث يكون أحدها نصف الثاني والثاني ثلث الثالث ونريد أن نعرف مقادير الخطوط ومقادير الأعمدة الخارجة من تلك النقطة على الأضلاع والمعلوم أضلاع المثلث فحسب وليكن المثلث ا ب جـ فنقسم ب جـ ثلاثة أقسام بحيث يكون أحد الأقسام نصف الثاني والثاني ثلث الثالث كأقسام جـ د، د هـ، هـ ب فـ دهـ ضعف جـ د وثلث هـ ب فيكون هـ ب ستة أمثال جـ د وجميع جـ ب سبعة أمثال جـ د ثم نصل ا د فيكون مثلث ا جـ د نصف مثلث ا د هـ وهو مثلث ا هـ ب كما مر في القاعدة السابعة والأربعين برهانها بالشكل الأول من سادسة الأصول ثم نخرج من نقطة د خط د ر موازيا لضلع ا جـ ومن نقطة هـ، هـ جـ موازيا لـ أ ب فيتقاطعا على نقطة ط فهي النقطة المطلوبة فإذا وصلنا ط ا، ط ح، ط ب يكون مثلث ا ط جـ مساويا لمثلث ا جـ د لوقوعها بين خطين متوازيين على قاعدة واحدة وهو ا جـ بالسابعة والعشرين من أولى الأصول مثلث ا ط ب مساويا لمثلث ا هـ ب بمثل ما مر وبقي مثلث ط جـ ب وهو ثلث مثلث ا ط ب وذلك ما أردناه والآن نريد مقادير الأعمدة الخارجة من نقطة ط على الأضلاع وهي أعمدة ط ي، ط ك، ط ل وليكن ا جـ عشرة و ا ب سبعة عشر و ب جـ احد وعشرون فيكون مساحة المثلث أربعة وثمانون أخذنا تسعها فكان تسعة وثلثا وهي مساحة مثلث ا ط جـ قسمناها على نصف ا جـ خرج من القسمة عمود ط ي أحدا وثلاثة عشر جزاء من خمسة عشر ثم قسمنا ضعف التسع المذكور على نصف ضلع ا ب خرج من القسمة واحد وسعة أتساع وهو مقدار عمود ط ل ثم قسمنا ثلثي المساحة اعني ستة وخمسين على نصف ضلع ا ب خرجت من القسمة ستة وعشرة أجزاء من سبعة عشر وهو عمود ط ك

طريق آخر أخرجنا من نقطة ا عمود ا ن على جـ ب فبالشكل الثالث عشر من ثانية الاصول نقصنا مربع ا ب عن مجموع مربعي ا حـ، جـ ب بقي 252 قسمنا نصفه على جـ ب خرج مقدار خط جـ ن ستة نقصنا مربعها عن مربع ا جـ بقي مربع ا ن 64 جذره ثمانية وهي عمود ا ن ولان مثلث ط د هـ تسعى ا ب ولتشابه مثلثي ط د ل، ا جـ ن يكون ط ل أيضًا تسعي ا ن و د ل تسعي جـ ن فيكون ط ل واحدا وسبعة التساع و د ل واحدا وثلثا فجموع جـ ل ثلاثة وثلثان مربعه ثلاثة عشر وأربعة اتساع ومربع ط ل ثلاثة وثلاثة عشر جزاء من أحد وثمانين مجموعها ستة عشر وتسعة وأربعون جزاء من أحد وثمانين جذره أربعة 0754 رابع الأعشار وهو خط ط جـ وبقي ب ل سبعة وعشر وثلثا مربعة ثلاثمائة وأربعة اتساع فيكون مربع ط ب ثلاثمائة وثلاثة وتسعة وأربعين جزاء من أحدا وثمانين أخذنا جذره فكان سبعة عشر و 4243 رابع الأعشار وهو خط ط ب ثم أخرجنا من نقطة د عمود د م على ا جـ ومن نقطة هـ عمود هـ س على ا ب فيكون مثلث د جـ م مشابها المثلث ا جـ ن لاتحاد زاويتي جـ فيهما وقيام زاويتي ن فيكون نسبة ا جـ إلى ا ن كنسبة جـ د إلى د م فيكون د م واحدا وثلاثة عشر جزءا من خمسة عشر وهو مثل ط ي المطلوب وأيضًا نسبة ا جـ إلى جـ ن كنسبة د جـ إلى جـ م فيكون جـ م واحدا وخمسين و ي م مثل ط د اثنان وتسعان فـ جـ ي ثلاثة وثمانية وعشرون جزاء من خمسة وأربعين فيكون ا ط القوى عليه وعلى عمود ط ي المساوي لـ د م ستة 6439 رابع الأعشار وأيضًا يكون مثلث ب هـ س مشابها لمثلث ب ا ن لاتحاد زاوية ب وقيام زاويتي س ن فيكون نسبة ا ب إلى ا ن كنسبة ب هـ وهو أربعة عشر إلى هـ س فيكون هـ س ستة وعشرة أجزاء من سبعة عشر وهو مثل ط ك المطلوب فعرفنا مقادير الأعمدة الثلاثة ولامتحان صحة العمل يقول وأيضا نسبة ا ب إلى ب ن وهو خمسة عشر كنسبة ب هـ وهو أربعة عشر إلى ب س فيكون ب س اثني عشر وستة أجزاء من سبعة عشر و س ك مثل ط هـ وهو كان ثلاثة وسبعة اتساع ف ك ستة عشر وعشرون جزاء من مائة وثلاثة وخمسين فـ ط ب القوي عليه وعلى ط ك يكون سبعة عشر 4243 رابع الأعشار بعينه مثل ما مر وذلك المطلوب

وهذا آخر ما ٍأردنا إيراده في هذا الكتاب والحمد لله تعالى على نعمائة والصلوة والسلام على خير خلقه محمد وعلى آله الظاهرين وأصحابه الهادين المهتدين