مفتاح الحساب/المقالة الثالثة/الباب السادس

مفتاح الحساب
المقالة الثالثة: الباب السادس
المؤلف: غياث الدين الكاشي



المقالة الثالثة: الباب السادس
في تحويل الأرقام الستينية إلى الهندية وبالعكس صحاحاً وتحويل كسورها إلى مخرج آخر ومعرفة الكسور التي وضعناها على قياس الكسور الستينية


ولنقدم هذا لما استخرجنا نسبة المحيط إلى القطر في رسالتنا المسماة بالمحيطية وبلغنا الكسور إلى التاسعة أردنا أن نحولها إلى الرقوم الهندية لئلا يعجز المحاسب الذي لم يعرف حساب المنجمين أخذنا كسر المحيط من مخرج هو عشرة الأف مكررة خمس مرات فهذا عدد مجرد فكانا قسمنا الواحد الصحيح عشرة أقسام وقسمنا كل عشر عشرة أقسام ثم كل قسم منها عشرة أقسام هكذا بالغاً ما بلغ فسمينا الأقسام الأولى أعشاراً لكونها كذلك والثانية ثاني الأعشار والثالثة ثالث الأعشار وهكذا بالغاً ما بلغ ليكون مراتب الكسور والصحاح على نسبة واحدة على قياس حساب المنجمين وسميناها بالكسور الاعشاري وينبغي أن يكتب الأعشار في يمين الآحاد وثاني الأعشار في يمين الأعشار وثالث الأعشار في يمين ثانيهما وهكذا إلى حيث بلغ فيكون الصحاح والكسور في سطر واحد والعمل في الضرب والقسمة واستخراج ضلع الأول من المضلعات وغيرهما على قياس حساب المنجمين كما أوردنا بعضها فيما سبق وكذا يكون معرفة جنسية المراتب على قياس معرفة جنسة مراتب حسابهم أعني يكون مرتبة عدد الآحاد صفراً واللعشرات والأعشار واحد أو للميات وثاني الأعشار اثنين وللآلوف وثالث الأعشار ثلاثة ولعشرات اللألوف ورابع الأعشار أربعة وهلم جر المجموع عددي مرتبتي المضروبين المفردين إن كانا في طرف واحد من الآحاد والتفاضل بينهما إن اختلفا فهو عدد مرتبة الحاصل من طرف المجموع أم من طرف الفضل ويكون التفاضل عددي مرتبتي المقسومين إن كانا في طرف واحد من الآحاد ومجموعهما إن اختلفا فهو عدد مرتبة الخارج من القسمة من سلسلة الصعود إن كانت مرتبة المقسوم فوق مرتبة المقسوم عليه وإلا من سلسلة النزول

وأما تحويل الأرقام الصحاح الستينية إلى الهندية فبأن نضرب ما في أعلى المراتب في ستين بالرقوم الهندية ونزيد على الحاصل ما في المرتبة التي تليها ونضرب المجموع في ستين ونزيد عليه ما في المرتبة التي يليها وهكذا إلى ينتهي إلى مرتبة الدرج ليحصل المطلوب

طريق اخر نأخذا آحاد ما في مرتبة الدرج فهو آحاد المطلوب وإن لم يكن في تلك المرتبة آحاد فنضع صفراً مكان الآحاد ثم نقسم الباقي على العشرة في جدول الستين فما خرج نأخذ آحادها ونضع مكان العشرات ثم نقسم الباقي على عشرة في جدول السّتين فما خرج نأخذ من آحاد الدرج ونضع مكان المئات وقس عليه

وأما تحويل الأرقام الهندية إلى الستينية فبأن نقسمها على ستين فما بقي فهو المرفوع مرة ونقسم ما خرج من القسمة على ستين فما بقي فهو المرفوع الثاني

طريق اخر نضرب ما في أعلى المراتب في عشرة بجدول ستين ليحصل بالرقوم الستينية ونزيد على الحاصل ما في المرتبة التي يليها ونضرب المجموع في عشرة بجدول الستين ونزيد على الحاصل ما في المرتبة اللتي يليها وهكذا إلى أن ينتهي الآحاد يحصل المطلوب وقد وضعنا جدول لا يحصل منه تحويل الأرقام الصحاح ظاهر

9 8 7 6 5 4 3 2 1 المفردات
ط ح ز و هـ د جـ ب ا الآحاد
ا ا ا ا ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ مرفوع مرة العشرات
ل كـ ي ؛ ن م ل كـ ي أجزاء
يه يجـ يا ي ح و هـ جـ ا مرفوع مرة المئات
؛ كـ م ؛ كـ م ؛ كـ م أجزاء
ب ب ا ا ؛ ؛ مرفوع مرتين الألوف
ل يجـ نو م كجـ و ن لجـ لو مرفوع مرة
؛ كـ م ؛ كـ م ؛ كـ م أجزاء
كه كب يط نو لجـ يا ح هـ ب مرفوع مرتين عشرات الألوف
؛ لجـ كو م نجـ و كـ لجـ مو مرفوع مرة
؛ كـ م ؛ كـ م ؛ كـ م أجزاء
د جـ جـ ب ب ا ا ؛ ؛ مرفوع ثلاث مرات مئات الألوف
ي يب ند مو لح نا كجـ نه كز مرفوع مرتين
؛ نجـ كو م نجـ و كـ لجـ مو مرفوع مرة
؛ كـ م ؛ كـ م ؛ كـ م أجزاء
ما لو لب كو كجـ يح يجـ ط د مرفوع ثلاث مرات ألوف الألوف
م ب كد مو ح لا نجـ يه لو مرفوع مرتين
؛ يجـ كو م نجـ و كـ لجـ يو مرفوع مرة
؛ كـ م ؛ كـ م ؛ كـ م أجزاء
و و هـ د جـ جـ ب ا ؛ مرفوع أربع مرات عشرات ألوف الألوف
نو ي كد لز نا هـ يح لب مو مرفوع ثلاث مرات
م كب د مو كح يا نجـ لد يو مرفوع مرتين
؛ يجـ كو م نجـ و كـ لجـ يو مرفوع مرة
؛ كـ م ؛ كـ م ؛ كـ م أجزاء
؛ ي ط ز و هـ جـ ب ا مرفوع خمس مرات ألوف ألوف الألوف
يا يز ؛ مب كه ح نا لد يو مرفوع أربع مرات
كو يز د نز يح لح كح يط ط مرفوع ثلاث مرات
م ب كد يد ح لا نجـ د لد مرفوع مرتين
؛ د كو م نجـ ز ك ط يو مرفوع مرة
؛ كـ م ؛ كـ م ؛ كـ م أجزاء
ا ا ا ا ا ؛ ؛ ؛ ؛ مرفوع ستة مرات عشرات ألوف ألوف الألوف
نه يب ل يز د نا لح كه يب مرفوع خمس مرات
مد نب ا ط يح كو لد يجـ نا مرفوع أربع مرات
كو ن يد لز ا كه يح يب لو مرفوع ثلاث مرات
م كب د مو كح يا نجـ لد يز مرفوع مرتين
؛ يجـ كو م نجـ و كـ ط مو مرفوع مرة
؛ كـ م ؛ كـ م ؛ كـ م أجزاء

وأما تحويل الكسور المذكورة بعضها إلى بعض فاثنا عشر لإن الكسور المذكورة أعني المستعملة أربعة أنواع المفرد والستينى و الأعشاری والدوانیق مع كسورها وتحويل كل واحد منها إلى الثالثة الباقية يكون اثنى عشر وقد ذكرنا في الباب الحادي عشر من المقالة الثانية اثنين منها وهما تحويل الكسر المفرد إلى الدوانيق وبالعكس فتذكر العاشرة الباقية منها الأول إذا أردنا تحويل الكسور والأرقام الستينية إلى الهندية أي الكسور الأعشارية نضربه الكسور بالأرقام الستينية في عشرة فإن كان أول مراتب الحاصل اجزاء أي درجاً فهي الأعشار وإن لم يكن أجزاء فنضع مكان الأعشار صفراً ثم نضرب كسور الحاصل أي غير الأجزاء في عشرة فإن كان أول مراتب الحاصل أجزاء نضعها في المرتبة التي سمنياها ثاني الأعشار وإن لم يكن أجزاء فنضع مكان ثاني الأعشار صفراً ثم نضرب هذا الحاصل غير الأجزاء في عشرة ونضع أجزاء الحاصل مكان ثالث الأعشار أن رفع بالأجزاء وعلى هذا القياس

مثاله أردنا أن نحول ح كط مد ثالثه إلى الكسور الأعشارية وضعنا شرح العمل في جدول ليكون دستوراً والجدول هذا

شرح العمل أجزاء الدقائق الثواني الثوالث
ضربنا ح كط يد في عشره حصل ا كه نز كـ
ضربنا كه نز كـ غير الأجزاء في عشره حصل د ط لجـ كـ
ضربنا ط لجـ كـ في عشره حصل ا له لجـ كـ
ضربنا له لجـ كـ في عشره حصل هـ نه لجـ كـ
ضربنا نه لجـ كـ في عشره حصل ط يه لجـ كـ
ضربنا يه لجـ كـ في عشره حصل ب له لجـ كـ

ولما كانت دقائق حاصل الضرب اعنى له لجـ كـ أكثر من النصف رفعناها بواحد فصارت الأجزاء ثلاثة وهي سادس الأعشار ثم كتبنا الأرقام التي في جدول الأجزاء بالهندية على الولاء صار هكذا 1415,93 وهو المطلوب وايمن مراتبه سادس الأعشار

الثاني إذا أردنا تحويل الكسور الأعشارية إلى الستينية فنضربها في ستين فما رفع من الحاصل إلى الصحاح فهو الدقائق وإن لم يرفع شيء إلى الصحاح فنضع مكان الدقائق صفراً ثم نضرب كسور الحاصل في ستين فما رفع من هذا الحاصل إلى الصحاح فهو الثواني وإن لم يرفع شيء إلى الصحاح فنضع مكان الثواني صفراً وقس عليه البواقي وقد وضعنا دستوراً لهذا العمل بمثل ما سبق وهو أن نضربنا الكسور في ستين ووضعنا الحاصل تحته وهكذا إلى حيث شئنا وخططنا بين الصحاح الحاصلة عن الضروب والكسور خطا مثلاً أردنا نحول 376 ثالث الأعشار إلى الرقوم الستينية عملنا هكذا

شرح العمل الكسور الصحاح
ضربنا 376 ثالث الأعشار في ستين حصل 560 22
ضربنا كسور الحاصل وهو 560 ثالث الأعشار في ستين حصل 6 33
ضربنا كسور الحاصل وهو 6 ثالث الأعشار في ستين حصل 0 36

فكتبنا الأعداد التي في جدول الصحاح بالرقوم الستينية على التوالي وهو كب لجـ لو ثالثه وهو المطلوب وقد أوردنا جدولا يحصل منه تحويل الكسور الستينية إلى الأعشارية وبالعكس والجدول هذا والعمل بهذا الجدول لا يخفى على الفطن

المفردات الأعشار ثاني الأعشار ثالث الأعشار رابع الأعشار خامس الأعشار سادس الأعشار سابع الأعشار ثامن الأعشار تاسع الأعشار عاشر الأعشار
دقيقة دقيقة ثانية ثانية ثالثة ثالثة رابعة خامسة ثالثة رابعة خامسة ثالثة رابعة خامسة سادسة رابعة خامسة سادسة سابعة رابعة خامسة سادسة سابعة ثامنة خامسة سادسة سابعة ثامنة تاسعة سادسة سابعة ثامنة تاسعة عاشرة
1 و ؛ لو جـ لو ؛ كا لو ب ط لو ؛ يب نز لو ا يز مه لو ؛ ز مو لجـ لو ؛ مو لط كا لو كـ لط نو ط لو
2 يب ا يب ز يب ؛ مجـ يب د يط يب ؛ كه نه يب ب له لا يب ؛ يه لجـ ز يب ا لجـ يح مجـ يد ط يط نب يط يب
3 لح ا مح ي مح ا كـ مح هـ ي مح ؛ لح نب مح جـ نجـ يو مح ؛ كجـ يط م مح ب يط نح د مح نجـ يط مح ؟ مح
4 كد ب كد يد كد ؛ كو كد ح لح كد ؛ نا ن كد هـ يا ب كد ؛ لا و يد كد جـ و لز كو كد يح لط م لح كد
5 ل جـ ؛ يح ؛ ا مح ؛ ي مح ؛ ا د مح ؛ و ي مح ؛ ؛ لح نب مح ؛ جـ نجـ يو مح ؛ كجـ يط م مح ؛
6 لو جـ لو كا لو ب ط لو يب نز لو ؛ يز مه لو ز مو لجـ لو ؛ يو لط كا لو د لط يو ط لو كز نط لو نز لو
7 مب كـ يب كه يب ؛ لا يب يه ز يب ؛ ل مجـ يب ط د يط يب ؛ ند كه نه يب هـ كو له لا يب لب لط لجـ ز نب
8 مح كـ مح كح مح ب نب مح يز يو مح ؛ مجـ م مح ي كب كـ مح ا ب يب كح مح ز د يد ند مح لز يط كط يو مح
9 ند هـ كد لب كد جـ يد كد يط كو كد ا نو لح كد يا لط ن كه ا ط نط ب كد و نط ند يد كد لا نط كه كو كد
10 س و ؛ لو ؛ جـ لو ؛ كا لو ؛ ب ط لز ؛ يب نز لو ؛ ا يز مه لو ؛ ز مو لجـ لو ؛ مو لط كا لو ؛

الثالث إذا أردنا أفراد الكسور الستينية أعني أخذها عن مخرج واحد نضرب الدقائق في ستين ونزيد على الحاصل الثواني ونضرب المجموع في ستين ونزيد على الحاصل الثوالث وهكذا إلى المرتبة التي نريد فيكون الحاصل الآخير كسراً ومخرج تلك المرتبة مخرجاً له ثم نردهما إلى أقل عددين على نسبتهما إن لم يكونا منه ومخرج المراتب هي ستون ومضلّعاته على التوالي أوردناها في هذا الجدول

أسماء المراتب الآحاد العشرات المئات الألوف عشرات الألوف مئات الألوف ألوف الألوف عشرات ألوف الألوف مئات ألوف الألوف آحاد ألوف تكرره ثلاث مرات عشرات ألوف تكرره ثلاث مرات مئات ألوف تكرره ثلاث مرات آحاد ألوف تكرره أربع مرات عشرات ألوف تكرره أربع مرات مئات ألوف تكرره أربع مرات آحاد ألوف تكرره خمس مرات عشرات ألوف تكرره خمس مرات مئات ألوف تكرره خمس مرات
مخرج الدقائق 0 6
مخرج الثواني 0 0 6 3
مخرج الثوالث 0 0 0 6 1 2
مخرج الرّوابع 0 0 0 0 6 9 2 1
مخرج الخوامس 0 0 0 0 0 6 7 7 7
مخرج السّوادس 0 0 0 0 0 0 6 5 6 6 4
مخرج السّوابع 0 0 0 0 0 0 0 6 3 9 9 7 2
مخرج الثوامن 0 0 0 0 0 0 0 0 6 1 6 9 7 6 1
مخرج التواسع 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 9 6 7 7 0 0 1
مخرج العواشر 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 7 1 6 6 4 0 6

الرابع إن أردنا بالعكس أعني إذا أردنا تحويل كسر مفرد إلى الكسور الستينية فنحول كل واحد من الكسر ومخرجه إلى الرقوم الستينية على تقدير أنه صحاح كما ذكرنا ثن نقسم رقوم الكسر على رقوم المخرج بالجدول الستين فما خرج فهو المطلوب

مثاله أردنا أن نحول هذا الكسر

0
125
1236

إلى الكسور الستينية حولنا كل واحد منهما إلى الرقوم الستينية حصل رقوم الكسر ب هـ ورقوم المخرج كـ لو قسمنا الأول على الثاني خرج من القسمة و ز د لط لو خامسة وتركنا ما بقي

الخامس إن أردنا أفراد الكسور الأعشارية نضعها موضع الكسر بعينه ونضع تحتها أصفاراً بعدة مراتب الكسور وواحداً على يمين الأصفار فهو مخرج لذلك الكسر وهو عدد مجرد

السادس إن أردنا بالعكس أي تحويل الكسر المفرد إلى الأعشاري فنقسم الكسر على المخرج فما خرج فهو المطلوب

مثاله أردنا أن نحول هذا الكسر

0
22
85

إلى الأعشاري قسمنا الكسر وهو 22 على المخرج فهو 85 كما ذكرنا في الباب الرابع من المقالة الأولى خرج من القسمة 2588 رابع الأعشار وتركنا ما بعده وعرفنا المراتب كما ذكرنا في أول هذا الباب السابع والثامن إن أردنا تحويل الكسور الستينية أو الأعشارية إلى الدوانيق والطساسيج والشعيرات فنضربها في الستة التي هي مخرج الدوانيق فما رفع من الصحاح فهو عدد الدوانيق ثم نضرب الباقي في أربعة فما رفع إلى الصحاح فهو عدد الطساسيج ثم نضرب الباقي في الأربعة فما رفع فهو عدد الشعرات وقس عليه أن احتيج إلى كسور الشعيرات

مثاله أردنا أن نحول كب يح مد ثالثة إلى الدوانيق والطساسيج والشعيرات عملنا هكذا

شرح العمل الصحاح الكسور
ضربنا كب يح مد ثالثه في ستة حصل ب يجـ نب كد
ثم ضربنا يجـ نب كد ثالثه في أربعة حصل ؛ نه كط لو
ثم ضربنا نه كط لو في أربعة حصل ا ن نط يب
ثم ضربنا ن نط يب في سته حصل هـ هـ نه يب
ثم ضربنا هـ نه يب في أربعة حصل ؛ يا ن كد
ثم ضربنا يا ن كد في أربعة حصل ؛ مز كا لو

فما وقع في جدول الصحاح هو أعداد الدوانيق والطاسيج وكسورها وذلك دانقان شعير واحد وخمسة دوانيق من شعير وأربعة أخماس شعير تقريباً

مثال التحويل الكسور الأعشارية إلى الدوانيق والطساسيج أردنا نحول 8495 رابع الأعشار إلى الدوانيق وكسورها عملنا هكذا

شرح العمل الكسور الصحاح
ضربنا 8495 رابع الأعشار في ستة حصل 097 5
ثم ضربنا 097 ثالث الأعشار في أربعة حصل 388 0
ثم ضربنا 388 في أربعة حصل 552 1
ثم ضربنا 552 في سته ليرفع دوانيق السبعة حصل 208 2
ثم ضربنا 208 في أربعة حصل 832 0
ثم ضربنا 832 في أربعة حصل 322 3

التاسع والعاشر إذا أردنا تحويل الدوانيق والطساسيج والشعيرات إلى أحد منهما فنقردها كما ذكرنا في الباب الحادي عشر من المقالة الثانية ثم يحول ذلك المفرد إلى أيهما أردنا كما سبق في الرابع والسابع