مفتاح الحساب/المقالة الثالثة/الباب الخامس

مفتاح الحساب
المقالة الثالثة: الباب الخامس
المؤلف: غياث الدين الكاشي



المقالة الثالثة: الباب الخامس
في استخراج الضلع الأول من المضلعات


كل عدد مفرد يضرب في نفسه ثم الحاصل ثم في الحاصل الثاني وهكذا إلى ما لا نهاية له ويزاد عدد مرتبة ذلك المفرد على نفسه ثم على المجموع ثم على المجموع الثاني وهكذا إلى ما لا نهاية له فهذه الأعداد على التوالي هي أعداد مراتب تلك الحواصل على التوالي كل لنظيره على ما عرفت أن عدد مرتبة حاصل الضرب بقدر مجموع عددي مرتبتي المضروبين إن كانا في طرف واحد من الدرج ولا محالة يحصل هذه الأعداد أيضاً من ضرب عدد مرتبة ذلك المفرد في عدد منزلة كل مضلع ومن هذا علم أن كل مضلع من المضلعات يوجد في المرتبة التي إذا قسم عددها على عدد منزلة لم يبق شيءأي يعد عدد منزلة عددها أو يساويها إن كان لها عدد ويقال إنها منطقة بذلك المضلع وما لا ينقسم أصم به والخارج من القسمة هو عدد مرتبة الضلع الأول من ذلك المضلع فمرتبة الدرج منطقة بجميع المضلعات ولا ينطق المرفوع والدقائق بشيء منها والمثاني والثواني منطقان بجذر لا غير والثالث والثوالث بكعب والمرابع والروابع بمال مال وجذر أيضاً وعلى هذا القياس فإذا أردنا أن نستخرج من عدد ضلعه الأول على إنه مضلع مفروض نضع العدد ونخط فوقه خطاً عرضياً وبين كل مرتبتين خطاً طولياً ونعرف المراتب المنطقة بذلك المضلع كم كانت ونجعل الخطوط التي على يسار المراتب المنطقة مثناه يميز الأدوار بعضها عن بعض ونتم الدور الأيسر بالجداول إن لم يكن تاماً ولو أردنا نلحق به أدوار آخر أو زيد فمرتبة آخير كل دور هي المنطقة بالمضلع المفروض والباقية أصمّ ونقسم الجداول في الطول صفوفاً بعدد منزلة المضلع المفروض ونكتب اسمائها على يمينها كما سبق في المثالة الأولى ثم نطلب أكثر مفرد يمكن نقصان مضلعه المفروض عما كان في الدور الأول من العدد اعني الدور الأيمن فإذا وجد نضعه في سطر الخارج فوق المنطق الأول أي فوق جدول الآخر من الدوّر الأول وتحته في اسفل صف الضلع ونضع مضلعاته المتوالية في اسافل الصفوف على التوالي إلى أن نضع مضلعه المطلوب تحت العدد بحيث يقع آخر مراتبها في جدول آخر الدّور ليكون محاذياً لما وضع في سطر الخارج وننقصه عما يحاذيه من العدد ثم نزيد الحاصل على ما في صف المال ونضربه في هذا المجموع ونزيد على ما فوقه هكذا إلى أن يبلغ صف ثاني العدد ثم نعمل هكذا الصف ثالث العدد وهكذا إلى أن ينتهي إلى صف الضلع فنزيد الفوقاني على ما في صف الضلع لأجله وننقل ما في ثاني العدد بمرتبة إلى اليسار وما في ثالثه بمرتبتين وما في رابعه بثلاث مراتب هكذا إلى أن ينتهي لصف الضلع فننقله بعده الصفوف التي تحت صف العدد ثم نطلب أكثر مفرد بالصفة المذكورة فإذا وجد نضعه فوق المنطق الثاني وتحته في صف الضلع على أيسر ما وضع فيه ونزيد الحاصل على ما فوقه ثم فيما فوقه ويزيد الحاصل على ما فوقه هكذا إلى أن نبلغ صف ثاني العدد ونضربه فيما فيه وننقص الحاصل عما في صف العدد ثم نعمل لصف صف كما ذكرنا للنقل وننقل على ما سبق وهكذا نعمل في كل دور على قياس ما قلنا في المقالة الأولى إلى أن يفنى العدد أو إلى حيث شئنا أن نقطع العمل فما حصل في سطر الخارج فهو الضلع الأول لذلك المضلع تحقيقاً إن لم يبق في صف العدد شيء وإلا يكون تقريباً وظاهر أن كلما يزداد مراتب سطر الخارج في سلسلة النزول كان أدق وإذا نقسم عدد كل واحد من المراتب المنطقة على عدد منزلة المضلع المفروض فالخارج من القسمة هو عدد مرتبة المفرد الذي وضع على فوق تلك المرتبة فلنكتب فوقه والدرجة تقع فوق الدرجة

مثاله أردنا أن نستخرج جذر ي ط مط كـ درجة وضعناه ورسمنا الجداول الطولية وفصّلنا الأدوار بالخطوط المثناه كما ذكرنا وطلبنا أكثر مفرد بالصفة المذكورة فوجدناه كد وضعناه فوق المنطق الأول وهو ط وتحتها في اسفل الجدول وضربناه في نفسه حصل ط لو نقصناه عما يحاذيه أعني عن ي ط بقي لجـ وضعناه تحت ط بعد الخط الفاصل ثم زدنا الفوقاني أعني كد على التحتاني فصار مح نقلناه إلى اليسار بمرتبة ثم طلبنا أكثر مفرد بالصفة المذكورة وجدناه ما وضعناه فوق منطق الدور الثاني وتحته على يسار مح وضربناه فيما هو في أسفل الجدول وإما في كل واحد من مفرداته ثم نقصنا الحاصل عما يحاذيه كما في الصورة الأولى وفيه بطريق ما كان أحد المضروبين مفرداً ونقصنا الحاصل عما يحاذيه على ما سبق كما الصورة الثانية ثم زدنا ما الفوقاني على ما في أسفل الجدول فصار مط كب نقلناه بمرتبة وطلبنا أكثر مفرد آخر بالصفة المذكورة وجدناه م وضعناه فوق منطق الدور الثالث وتحته على يمين كب وبه قطعنا العمل وبقي من العدد كجـ نجـ كـ ثانية الصورتين وما وقع فوق الدرج درج وهو ما

الصورة الأولى   الصورة الثانية
كد ما م كد ما م
ي ط يط كـ     ي ط يط كـ    
ط لو         ط لو        
لجـ       لجـ        
لب مح       لجـ يو ا    
ا ا     لجـ مط    
لح ا     لب نه و م
لجـ مط     لجـ نجـ كـ
لب م                
لط                
يد م              
كد كـ              
كو م            
كجـ نجـ كـ            
مط كب م       مط كب م
مح ما     مح ما
كد كد   

وقد استخرجنا في رسالتنا المسماة بالمحيطة جذوراً كثيرة لأعداد كثيرة الأرقام واستعملنا فيها نكات غريبة ومن أراد ذلك فليرجع إليها ثم أوردنا ههنا مثالاً لاستخراج الكعب ومثالاً آخر لاستخراج الضلع الأول لكعب الكعب ولم يتعرض لشرح العمل لئلا يطول الكتاب وذلك يسهل على من استحضر العمل بالرقوم الهندية على ما سبق في ونأمل في المثال

مثال الكعب
سطر الخارج مرفوع درجة دقيقة ثانية ثالثة رابعة خامسة سادسة
ي كه لـ
صف العدد على أنه كعب مح نب نط مجـ نا كه
يو م
- يب
- ي يو ن كه
- مب نجـ كو كب لـ ؛
- مب نجـ كو
؛ ؛ ؛ ؛ - لـ ؛
صف المال وهو ثاني العدد هـ كه يو نب مه ؛
يه لز مه ؛
هـ كه لا يه
هـ كه لا يه
يب ن ن
هـ يب م كه
هـ ؛
هـ ؛
جـ كـ
ا م
صف الضلع ل لا يه
كـ ن
ي ل كه لا يه لـ
مثال استخراج الضّلع الأول لكعب كعب العدد الموضوع في صف العدد
سطر الخارج مرفوع

يد

درجة

؛

دقيقة

لـ

متاسع مثامن مسابع مسادس مخماس مرابع مثالث مثاني مرفوع درجة دقيقة ثانية ثالثة رابعة خامسة سادسة
صف العدد على أنه كعب كعب لد نط ا ز يد ند كجـ جـ مز لز م
لد نا لب يو
ز كح نا
ز كح نا يد ند كجـ جـ مز لز لـ نو يه ؛ ؛ ؛
ط جـ مه
ثاني العدد وهو صف مال الكعب يد يز مب كط مح مو ز له يه ا نب لـ ؛ ؛
ا كـ هـ مح مو ز له يه ا نب لـ ؛ ؛
يد نو كب كد
يد نو كب كد
يد نو كب كد
يب كو يح م
- كط كجـ مد
ثالث العدد وهو صف مال المال
- م يا لز لب يه ي لـ جـ مه ؛ ؛
ب لز لب يه ي لـ جـ مه ؛ ؛
- م كـ ؛
- م كـ ؛
- م كـ ؛
ا مو مب م
نجـ كا كـ
مب ما ي
ي م يو
رابع العدد وهو صف الكعب يه يه كـ لـ كا ؛ ز لـ ؛
كد لـ كا ؛ ز لـ ؛
يه يد م
يه يد م
يه يد م
ز لز كـ
ز لز كـ
ي يد كد
جـ - نو
- يز يب
- مه مد
خامس العدد وهو صف المال    
يط ؛
يو كـ
لب م
يجـ كـ
يط لو
ط مح
ط مح
و لب
- يز
مط ؛ مط ؛ مب ؛ يه ؛
صف الضلع
 
ا لد
ا ي
نو
مب
كح
يد ا كد ؛ ا كد ؛ ل