مفتاح الحساب/المقالة الرابعة/الباب الثالث/الفصل الثالث

مفتاح الحساب/المقالة الرابعة/الباب الثالث
الفصل الثالث
المؤلف: غياث الدين الكاشي



الفصل الثالث
فيما يختص متساوي الأضلاع والزوايا واستخراج أبعاده بعضها عن بعض


أما المساحة فنضرب مربع ضلع واحد من المخمس في ا مجـ يجـ مجـ ز ح خامسة والمسدس في ب له نجـ د كز مب خامسة والمسّبع في جـ لح ب هـ يح م خامسة والمثمن في د مط مب كـ يه لب خامسة والمتّسع في و ي ند لد يح يو خامسته والمعشر في ز ما لط ط و له خامسة وذي اثنى عشر ضلعاً في يا يا مو ح نه كد خامسته وذي خمسة عشر ضلعاً في كـ و لجـ ما يط يو خامسة ليحصل مساحة ذلك المضلع وهذه الأعداد هي أمثال مربع ضلع واحد وأجزائه لذلك المضلّع وقد وضعناها بالأرقام والكتابة معا مع أضعافها في جدول إذ لو وقع نقل النسخة منه غلط ليسهل تصحيحه

جدول تلك النسبة برقوم الجمّل
ذوات الأضلاع المتساويات مساحة ذوات الأضلاع الكثيرة أسامي الأرقامها بالكتابة ضعفها
أجزاء دقائق ثواني ثوالث روابع خوامس أمثال مربع ضلع واحد دقائقها ثوانيها ثوالثها روابعها خوامسها أجزاء دقائق ثواني ثوالث روابع خوامس
المثلث ؛ كه نح ن مد لز صفر خمسة وعشرون ثمان وخمسون خمسون أربع وأربعون سبع وثلاثون ؛ نا نو ما كط يد
المخمس ا مجـ يجـ مجـ ز ح واحد ثلاث وأربعون ثلاث عشرة ثلاث وأربعون سبع ثمان جـ كو كز كو يد يو
المسدس ب له نجـ د كز مب اثنان خمس وثلاثون ثلاث وخمسون أربع سبع وعشرون اثنان وأربعون هـ يا مو ح نه كد
المسبع جـ لح ب هـ يح م ثلاثة ثمان وثلاثون اثنان خمس ثمان عشرة أربعون ز يو د ي لز كـ
المثمن د مط مب كـ يه لب أربعة تسع وأربعون اثنان وأربعون عشرون خمس عشرة اثنان وثلاثون ط لط كد م لا د
المتسع و ي ند لد يح يو ستة عشر أربع وخمسون أربع ثلاثون ثمان عشرة ست عشرة يب كا مط ح لو لب
المعشر ز ما لط ط و له سبعة أحد وأربعون تسع وثلاثون تسع ست خمس وثلاثون يه كجـ يح يح يجـ ي
ذو اثني عشر ضلعًا يا يا مو ح نه كد أحد عشر أحد عشرة ست وأربعون ثمان خمس وخمسون أربع وعشرون كب كجـ لب يز ن مح
ذو خمسة عشر ضلعًا يز لح لب ل كجـ يط سبعة عشر ثمان ثلاثون اثنان وثلاثون ثلاثون ثلاث وعشرون تسع عشرة له يز هـ ؛ مو لح
ذوُ سّتة عشر ضلعًا كـ و لجـ ما يط يو عشرون ست ثلاث وثلاثون أحد وأربعون تسع عشرة ست عشرة م يجـ ز كب لح لب

كارتباط بعضها ببعض وأيضًا حولنا هذا المقادير إلى الرقوم الهندية ليس بتلك الدّقة بل أخذنا الكسور كلها من مخرج واحد وهو ألف ألف ليكون على قياس حساب المنجمين إذ يحصل للصحيح أعشار ثم للأعشار أعشار وهي الّتي سمّيناها بثاني الأعشار ثمّ لأعشاره بثالث الأعشار وهكذا إلى سادس الأعشار ووضعنا هذه المقادير أيضاً في جدول آخر بالأرقام والكتابة والتضعيف أيضاً كما وضعنا في جدول الأول والجدول هذه

جدول تلك النسبة بالأرقام الهندية
ذوات الأضلاع المتساويات مساحة ذوات الأضلاع الكثيرة أسامي الأرقام بالكتابة ضعفها
سادسها خامسها رابعها ثالثها ثانيها الأعشار الأجزاء إذا كان ضلع واحد من ذوات الأضلاع الكثيرة ألف فيكون مربع ضلع واحد ألف ألف سادسها خامسها رابعها ثالثها ثانيها الأعشار الصحاح
المثلث 2 1 0 3 3 4 0 ويكون مساحة المثلث أربعمائة وثلاثة وثلاثين ألف واثني عشر بذلك الأجزاء 5 2 0 6 6 7 00
المخمس 7 7 4 0 2 7 1 ومساحة المخمس مثل مربع ضلع واحد وسبعمائة وعشرين ألفا وأربعمائة وسبعة وسبعين بها 5 5 9 0 4 4 3
المسدس 6 7 0 8 9 5 2 ومساحة المسدس مثلي مربع ضلع واحد وخمسمائة وثمانية وتسعين ألفا وستة وسبعين بها 2 5 1 6 9 1 5
المُسّبع 4 1 9 3 3 6 3 ومساحة المُسّبع ثلاثة أمثال مربع ضلع واحد وستمائة وثلاثة وثلاثين ألفا وتسعمائة وأربعة عشر بها 8 2 8 7 6 2 7
المثمن 7 4 4 8 2 8 4 ومساحة المثمن أربعة أمثال مربع ضلع واحد وثمانمائة وثمانية وعشرون ألفا وأربعائة وسبعة وعشرين بها 4 5 8 6 5 6 09
المتسع 5 2 8 1 8 1 6 ومساحة المتسع ستة أمثال مربع ضلع واحد ومائة واحدى وثمانين ألفا وثمانمائة وخمسة عشرين بها 0 5 6 3 6 3 12
المعشر 9 0 9 4 9 6 7 ومساحة المعشر سبعة أمثال مربع ضلع واحد وستمائة وأربعة وتسعين ألفا وتسع مائة وتسعة بها 8 1 8 9 8 3 14
ذو اثني عشر ضلعًا 2 5 1 6 9 1 11 ومساحة ذي اثني عشر ضلعًا أحد عشر مثلا لمربع ضلع واحد ومائة وستة وتسعين ألفا ومائة واثنين وخمسين بها 4 0 3 2 9 3 22
ذو خمسة عشر ضلعًا 3 6 3 2 4 6 17 ومساحة ذي خمسة عشر ضلعًا سبعة عشر مثلا لمربع ضلع واحد وستمائة واثنين أربعين ألفا وثلاثمائة وثلاثة وستين بها 6 2 7 4 8 2 35
ذوُ سّتة عشر ضلعًا 8 5 3 9 0 1 20 ومساحة ذي ستة عشر ضلعًا عشرين مثلا لمربع ضلع واحد ومائة وتسعة آلاف وثلاثمائة وثمانية وخمسين شلك الأجزاء 6 1 7 8 1 2 40

مثاله أردنا أن نمسح مسدسًا متساوي الأضلاع كل ضلع منه عشرون ذراعًا ونصف ذراع وضعاها هكذا كـ ل ربعناه صار ز ؛ يه دقيقة ضربناه في ب له نجـ د كز مب خامسة حصلت المساحة هكذا

الصحاح الكسور
مرفوع مرة ذراع دقائق ثواني ثوالث روابع خوامس سوادس
يح يا ن كط ل ؛ نه ل

وإن فرضنا كل ضلع منه ألفا ومائتين وثلاثين ذراعاً لكان الحاصل أيضاً تلك الأرقام بعينها لكن الرقم الرابع وهو كط يكون ذراعاً وما في يمينه مرفوعاته والباقي كسوره وقس عليه مثاله المساحة المذكورة بالأرقام الهندية أخذنا نصف ذراع الذي مع ذرعان ضلع واحد من مخرج العشرة فكانت خمسة وضعناها على يمين العشرين هكذا

كسور صحاح ربعناه صار كسور صحاح ضربناه في هذا العدد كسور صحاح حصل هذا كسور صحاح
5 20 25 420 598076 2 841079 1091

فإذا فرض كل ضلع منه مائتان وستة ذراع فيكون الحاصل هذه الأرقام بعينها لكن الأربعة يكون آحادها اعني يكون صحاحًا والأرقتم الباقية كسورا وأعلم أن كل متساوي الأضلاع والزوايا سوى المربع إذا كان ضلعه منطقا فهو غير منطق بمساحته

وأما استخراج الأبعاد فمنها استخراج نصف قطر الدائرة المذكورة اعني التي وقعت في المضلع وتماس انصاف أضلاعه أما بعمل اليد بأن نصل فيما كان عدداً ضلاعه زوجًا منتصفي الضلعين المتقابلين بخط مستقيم قنصف ذلك الخط يكون نصف نصف القطر الدائرة المطلوبة وفيما كان عددًا أضلاعه فردًا نصل بين منتصف ضلع آخر والزاوية المقابلة لهذا الضلع فمن تقاطع الخطين إلى منصف الضلع يكون نصف قطر الدائرة المذكورة والتقاطع هو مركزها

وأما بالحساب بأن نقسم مائة وثمانين إما على عدد الأضلاع فما خرج نأخذ جيبه وجيب تمامه ثم نضرب نصف ذرعان ضلع واحد في جيب تمامه تارة وفي ستين اخرى ونقسم كل واحد على جيبه خرج من الأول مقدار نصف قطر الدائرة الداخلة ومن الثاني نصف قطر الدائرة الخارجة اعني التي تماس زوايا للشكل ويقال لهما القطر الأطول والأقصر نوع أخر نقسم مساحة المضلع على نصف مجموع أضلاعه فما خرج فهو نصف القطر الأصغر ومنها استخراج الضلع فإن كان نصف قطر الأطول والأقصر معلومًا وكان الضلع مجهولا نضرب ما كان معلومًا في الجيب المذكور ونقسم الحاصل على جيب تمامه إن كان المعلوم نصف قطر الأقصر وعلى ستين إن كان نصف قطر الأطول فما خرج نضعفه ليحصل الضلع.

نوع آخر لو كانت المساحة معلومة نقسمها على أرقام ذلك المضلع ونأخذ جذر الخارج فهو المطلوب.