مفتاح الحساب/المقالة الرابعة/الباب السابع/الفصل الثاني

مفتاح الحساب/المقالة الرابعة/الباب السابع
الفصل الثاني
المؤلف: غياث الدين الكاشي



الفصل الثاني
في مساحة المخروط واستخراج عموده


أمّا المساحة فنضرب ثلث مساحة قاعدته في العمود الخارج عن رأس المخروط على سطح قاعدة داخلا كان أو خارجاً.

نوع آخر مخصوص بالقائم المستدير نضرب ثلث العمود الخارج من مركز قاعدته الواقع على ضلع من أضلاعه أي على خط واصل بين رأسه ومحيط قاعدته في سطحة المستدير ليحصل المساحة وإمّا استخراج العمود الخارج عن رأس المخروط ومحيط قاعدته معلوماً في القائم المستدير والخطان الأطول والأقصر في المائل المسدير وهما مع قطر القاعدة يكون أضلاع مثلثه فنستخرج العمود عن أضلاعه مثلث كما سبق مساحة المثلث، وإن كان المخروط مضلعاً قائماً ويكون أضلاع قاعدته بحيث يمكن أن يحيط بها دائرة تماس جميع زواياها فنقص مربع نصف قطر تلك الدائرة عن مربع الخط الواصل بين رأس المخروط واحدى زوايا القاعدة أو يمكن أن يحيط بدائرة تماس أضلاعها فنقص مربع نصف قطرها عن مربع الخط الواصل بين رأس المخروط واحدى فقط التماس فما بقي فهو مربع العمود، وإن كان المخروط مضلعاً مائلاً، ويكون أضلاع قاعدته متساويات، ويكون السطح الموهوم المار سهمه القائم على قاعدته ماراً باحدى زوايا قاعدته ومنتصف أحد أضلاعه فيما كان أحد أضلاع قاعدته فردا وإمّا بالزاويتين المتقابلتين أو بمنتصفي الضلعين المتقابلين فيما عدد أضلاعه زوجاً أو منقطع الضلعين المتقابلين على غير نقطتي المنتصف فيحدث فيه من ذلك السطح مثلث يكون قاعدته فيما كان أضلاع قاعدته فرداً بقدر مجموع نصفي قطري الدائرة الداخلة والخارجية واحد ساقيه بقدر الخط الواصل بين رأسه والزاوية والأخر بقدر الخط الواصل بين رأسه ومنتصف الضلع فنستخرج منه العمود كما سبق في مساحة المثلث، وأمّا فيما كان عدد أضلاعه قاعدته زوجاً فإن كان السطح مار بالزاويتين منها فيكون قاعدة مثلث المخروط قطر الدائرة المحيطة بأضلاع القاعدة واحد ساقيه الأطول الواصل بين رأسه ومحيط قاعدته والأخر الأقصر الواصل بهما، وإن كان ماراً بمنتصفي الضلعين يكون القاعدة قطر الدائرة الداخلة والضلعان الآخران هما أطول الخطوط الوصلة بين رأسه ومنتصف أضلاع القاعدة وأقصرها فنستخرج منها العمود وإن كان قاطعاً للضلعين على غير نقطتي المنتصف نزيد مربع بعد التقاطع عن منتصف الضلع على مربع نصف قطر الدائرة الداخلة ونأخذ جذر المجموع ونضعفه وهو قاعدة مثلث المخروط والخطان الواصلان بين رأس المخروط وطرفي القاعدة هما ساقاه فنستخرج منها العمود.

نوع آخر أعم منه إن كان سهمه معلوماً وكذا زاوية ميله عن القيام، فنضرب سهمه في جيب تمام زاوية الميل منحطاً فما حصل فهو العمود وكذا الحكم في كل خط واصل بين رأس المخروط ومحيط قاعدته إذا كان مقدار زاوية ميله معلوماً وهذا شامل لجميع، وأمّا استخراج العمود الخارج عن مركز القاعدة على خط وصل بين المخروط، ومحيط قاعدته فنضرب مجموع سهم المخروط ونصف قطر قاعدته في تفاضلهما ونقسم الحاصل على الخط المذكور فما خرج ننقصه عن ذلك الخط ثم ننقص مربع نصف الباقي عن مربع نصف قطر القاعدة فما بقي نأخذ جذره وهو المطلوب.