مفتاح الحساب/المقالة الرابعة/الباب السادس/الفصل الثالث

مفتاح الحساب/المقالة الرابعة/الباب السادس
الفصل الثالث
المؤلف: غياث الدين الكاشي



الفصل الثالث
في مساحة سطح المخروط


أمّا المستدير القائم فنضرب نصف قطر القاعدة في ذلك الخط ثم في النسبة بين القطر والمحيط وفي المخروط الناقص المستدير القائم نضرب مجموع محيطي الدائرتين في أقصر الخط الواصل بين المحيطيين اعنى الذي كان مع السهم واحد ليحصل المساحة ونضرب مجموع نصفي القطرين في ذلك الخط ثم الحاصل في النسبة المذكورة، وإن لم يكن الخط المذكور معلوماً وكان ارتفاعه معلوماً نأخذ نصف التفاضل بين قطري القاعدتين ونزيد مربعه على مربع ارتفاعه ونأخذ جذر الحاصل فهو مقدار الخط المذكور، وأما المستدير المائل فلم يذكر المتقدمون مساحة سطحه إذا لم يوجد إلى تحصيلها سبيل فنحن نحتال في معرفتها بتقريب لا يبعد عن الصواب، وذلك بإن يحصل أعظم الخطوط الخارجة من رأس المخروط إلى محيط قاعدته وأقصرها وكذا يحيط قاعدته بمقياس واحد ثم يجرى محيط قاعدته أجزاء يكون التفاوت بين كل جزء منها وبين وتر ذلك الجزء شياء يسير بالنسبة إلى المقياس ويستخرج مقادير الخطوط الخارجة عن رأس المخروط إلى محيط قاعدته بحيث يكون البعد بين كل اثنين منها من محيط القاعدة بقدر جزء واحد من تلك الأجزاء ليحصل المساحة ومعرفة استخراج مقادير تلك الخطوط المذكورة أن يعرف بعد كل خط منها عن طرف أقصر الخطوط من أجزاء محيط القاعدة كم كان بما به محيط القاعدة ثلاثمائة وستون ويعرف كل واحد من جيبه وسهمه ثم نقسم نصف المحيط على نسبة المحيط إلى القطر فما خرج فهو نصف قطر قاعدته ضربناه في كل من الجيب والسهم المذكورين منحطاً، ونسمي حاصل ضرب الجيب بالمحفوظ الأول وحاصل ضرب السهم بالمحفوظ الثاني ثم نضرب مجموع الضلعين الأطول والأقصر في تفاضلهما ونقسم الحاصل على قطر قاعدته فما خرج نأخذ التفاضل بينه وبين قطر القاعدة وننصفه فهو بعد موقع العمود الخارج عن رأس المخروط على سطح قاعدته عن طرف أقصر الأضلاع ونسميه بالمحفوظ الثالث ننقص مربعه عن مربع أقصر الأضلاع يبقى مربع العمود ثم نجمع بين محفوظي الثاني والثالث ونسميه بالمحفوظ الرابع ونجمع مربّعه مع مربعي العمود والمحفوظ الأول ونأخذ المجموع فهو الخط المطلوب، وأمّا مساحة المخروط المضلع هي مجموع مساحة المثلثات التي يحيط به.