مفتاح الحساب/المقالة الثالثة/الباب الثالث

مفتاح الحساب
المقالة الثالثة: الباب الثالث
المؤلف: غياث الدين الكاشي



المقالة الثالثة: الباب الثالث
في الضرب


وهو موقوف على معرفة جدول الستين ومعرفة جنسية مراتب حاصل الضرب وهو جدول مقسوم في الطول والعرض بستين قسما والأرقام الستينية موضوعة على فوقه ويمينيه كل رقم محاذ لقسم من الأقسام وحاصل ضرب بعضها في بعض موضوع في البيت التي يكون لمتقاء المضروبين في مرتبتين أيسرهما مبسوط وأيمنهما مرفوع ولو كان صفراً والجداول الطولية موسومة بالأرقام التي على فوقها وبعض يفرز بعضها عن بعض بحيث يكتب في ستين صفحة ليقل وقوع الغلط

وأما معرفة جنسية المراتب فكما أن نسبة الواحد إلى أحد المضروبين كنسبة المضروب الأخر إلى مرتبة حاصل الضرب يكون مرتبة نسبة الدرج إلى مرتبة أحد المضروبين كنسبة مرتبة المضروب الآخر إلى مرتبة حاصل الضرب لإن المراتب كلها متوالية في النسبة فيكون بعد مرتبة أحد المضروبين عن مرتبة الدرّج كبعد مرتبة الحاصل من الضرب عن مرتبة المضروب الآخر فإذا أخذنا للدرج صفراً وللمرفوع المرة والدقيقة واحداً وللمثاني والثانية اثنين وللمثلث والثالثة ثلاثة وعلى هذا القياس فهي أبعاد المراتب عن الدرج سميت أعداد المراتب ثم إذا ضربنا مفرداً في مفرد نجمع عددي مرتبتي المضروبين إن كانا في أحد طرفي الدرج فالمجموع عدد مرتبة الحاصل في ذلك الطرف ونأخذ الفضل بينهما إن أختلفا فهو عدد مرتبته في الطرف الذي له الفضل وقد وضع جدولاً لمعرفة مرتبة حاصل الضرب سنوردها

مثاله أردنا أن نعرف أن الحاصل من ضرب كد دقيقة في نب رابعة أي رقم من أي مرتبة دخلنا في جدول الستين فوجدنا في كـ مح مرفوعاً ومبسوطاً ولإن الدقيقة والرابعة في طرف واحد من الدرج جمعنا عدديهما فكان خمسة وهي العدد المرتبة الخامسة فعلم أن مح المبسوط في المرتبة الخامسة ولا بد يكون كـ المرفوغ في المرتبة الرابعة وإن ختلف طرفا فالمضروبين كضرب كد دقيقة في نب مثالث أخذنا الفضل بين الواحد والثلاثة كان اثنين والفضل في طرف الصّعود فيكون مح المبسوط في الثاني و كـ المرفوع في المثالث

وبعد تقديم هذه المقدمة إذا أردنا أن نضرب مفرداً في مركب ندخل في جدول الستين ونضرب ذلك المفرد في كل واحد من مفردات الآخر على الولاء ونضع الحواصل بحيث يكون المرفوع من كل واحد محاذياً لمبسوط ما في يساره فيحصل في أكثر الحال سطران نجمعهما كما هو عمل الجمع ونعرف جنسية المرتبة الآخيرة أو مرتبة آخرى كما ذكرنا ليعرف البواقي

مثاله أردنا أن نضرب لو دقيقة في كا يح ؛ نو ثانية دخلنا في جدول الستين وأخذنا من جدول لو منه بإذاء كا كان يب لو وضعناه وبإزاء يح كان ي مح وضعنا ي تحت لو و مح على يساره ثم وضعنا للصفر صفرين أحدهما فوق مح والآخر على يساره وأخذنا بإزاء نو كان لجـ لو وضعنا لجـ تحت الصفر و لو على يساره فحصل سطران جمعناهما هكذا

يب لو ؛ ؛
ي مح لجـ لو
يب مو مح لجـ لو

ولما كان المفرد المضروب دقيقة وآخر مراتب المضروب وثانية فيكون آخر مراتب الحاصل من الضرب وهو لو ثالثة ولو شئنا نضع المرفوع والمبسوط في كل ضرب متقاطرين إما بأن نضع المبسوط تحت يسار المرفوع ونتم العمل هكذا

يب ي ؛ لجـ
لو مح ؛ لو
يب مو مح لجـ لو

وإما بأن نضع المبسوط فوق يسار المرفوع ونتم العمل هكذا

لو مح ؛ لو
يب ي ؛ لجـ
يب مو مح لجـ لو

وأيضاً يحصل المطلوب بأن نضرب المفرد المذكور في آخر مراتب المضروب فيه ونضع مبسوط الحاصل ونحفظ مرفوعه في الذهن ثم نضرب المفرد المذكور فيما يتقدم على آخر مراتب المضروب فيه ونجمع مبسوط الحاصل مع المحفوظ في الذهن ونضعه على يمين الموضوع أولاً ونجمع مرفوعه مع مبسوط حاصل ضرب ذلك المفرد فيما يتقدم على متقدم آخر مراتب المضروب فيه وهكذا إلى أن يتم

مثاله أردنا أن نضرب كد درجة في يح مب لو مو ثالثه دخلنا في جدول كد فكان بإزاء مو من المرفوع والمبسوط يح كد وضعنا كد المبسوط وزدنا يح المرفوع على المبسوط والذي بإزاء لو الذي هو كد حصل مب وضعناه على يمين كد وجمعنا مرفوعه وهو يد مع مبسوط ما هو بإزاء مب أعني مح فصار ا ب وضعنا ب يمين مب وجمعنا كط وضعناه يمين ب ووضعنا ز المرفوع يمين كط هكذا ز كط ب مب كد ثالثة وهو المراد

وهذا الطريق أسهل عند من قدر على الحساب وإنا أردنا أن نضرب مركباً في مركب نرسم الشبكة كما ذكرنا إلا إن هيهنا نرسم الخطوط الموربة بحيث ينقسم من كل مربع الزاوية الفوقانية اليسرى والتحتانية اليمينى ونضع أحد المضروبين فوق الشبكة على الولاء والآخر على يمينها بحيث يكون المرتبة العالية فوق السافلة ونضع حواصل ضروب المفردات بعضها في بعض في المربعات بحيث يكون المرفوع في المثلث الفوقاني والمبسوط في التحتاني من ذلك المربع ثم نضع في المثلث التحتاني الذي في الزاوية اليسرى التحتانية من الشبكة تحته بعينه وهو المبسوط الذي حصل من ضرب آخر مراتب المضروب في آخر مراتب المضروب فيه ونكتب في يساره اسم مرتبة ثم نجمع ما بين الخطين الموربين الذي بعده ونضع الحاصل على يمين ما وضعناه أولاً في سطر الحاصل إن كان أقل من ستين وإلا مازاد عليه ونرفع بكل ستين واحداً إلى حاصل السطر المورّب الذي بعده وهكذا نجمع ما في كل سطر مورب إلى أن يتم العمل فما حصل تحت الشبكة فهو المطلوب

مثاله أردنا أن نضرب كد يه م لح ثالثة في يجـ ط نا كـ دقيقة عملنا كما ذكرنا هكذا

الـمضــروب درجة دقيقة ثانية ثالثة
المضروب فيه
كد يه م لح
مثاني يجـ
هـ
يب
جـ
يه
ح
م
ح
يد
مرفوع ط
جـ
لو
ب
يه
و
؛
هـ
مب
درجة نا
كـ
كد
يب
مه
لد
؛
لب
يح
دقيقة كـ
ح
؛
هـ
؛
يجـ
كـ
يب
م
الحاصل هـ   يط   كب   يد   مد   كز   ن   م

ولإن آخر مراتب أحد المضروبين ثالثة وآخر الأخر دقيقة وهما في طرف واحد فمجموع عدديهما أربعة فنعلم آخر مراتب الحاصل رابعة وأوله مثالث لإنه مرفوع حاصل ضرب المثاني في الدرجة وأما الضرب بالشبكة الموربة نرسمها على ما ذكرنا بعينه في الباب الثالث من المقالة الأولى ونضع المضروب والمضروب فيه على ضلعي الفوقانيّن مبتدئاً من اليمين إلى اليسار وتم المربعات بالحواصل ونجمع ما في السطور الطولية كما هو عمل الجمع ونعيد للمثال المضروبين المذكورين بسهولة فهم المبتدئ هكذا

نوع آخر مستنبط عن هذا النوع من غير رسم الشبكة نبداء بالضرب ما كان في أول مراتب المضروب في كل واحد من مفردات المضروب فيه على الولاء من اليمين إلى اليسار بحيث يكون مرفوع حاصل الثاني تحت مبسوط الأول ومرفوع الثالث تحت مبسوط الثاني وعلى هذا ثم نبداء بضرب ما في ثاني مراتب المضروب في كل واحد مما في مراتب المضروب فيه على الولاء ونضع الحاصل الأول بحيث يكون مرفوعه فوق مبسوط حاصل ضرب المفردين الأولين من المضروبين ومرفوع الحاصل الثاني تحت مبسوط الحاصل الأول وعلى هذا إلى أن يتم ونعيد للمثال العددين المذكورين أيضاً للغرض المذكور هكذا

يجـ
ط
نا
كـ
لح
ح يد
هـ  مب
لب يح
يب  م
م
ح م
و ؛
لد ؛
يجـ كـ
يه
جـ يه
ب يه
يب مه
هـ ؛
كد
هـ يب
جـ لو
كـ كد
ح ؛



هـ يط كب يد مد كز ن م

ولو نرسم لهذا النوع جداول طولية وعرضية ونضع الأرقام فيها فهو أولى ولا يجب أن يكون كل رقم في بيت بل يكتفي بأن يكون كل أربعة أرقام في بيت

ونوع آخر وهو أن نضرب كل واحد من مراتب المضروب على الولاء في جميع المضروب فيه بطريق ما كان أحد المضروبين مفرداً فيحصل في كل ضرب في أكثر الحال سطران وينبغي أن نضع أرقام كل سطرين حصلاً من ضرب على الولاء بحيث يقع أول مراتبه محاذياً لثاني مراتب السطرين المتقدمين عليها فيحصل أعداد بعضها فوق بعض نجمعهما كما سبق

ح يد
ح م هـ مب
جـ يه و ؛ لب يح
هـ يب ب يه لد ؛ يب م
جـ لو يب مه يجـ كـ
كـ كد هـ ؛
ح ؛
هـ يط كب يد مد كز ن م

مثاله أردنا أن نضرب كـ مب له ثانية في نه كو مح م دقيقة عملنا بها كما ذكرنا هكذا

يح ح يو يجـ
كـ م ؛ كـ
لح يح لجـ كح
لـ يب لو ؛
لب يه كح كجـ
هـ ي ؛ كـ
يط ح يز كـ ب كجـ كـ

وإن أردنا ضرب أعداد كثيرة في عدد مركب نضع جدول تضاعيف هذا العدد أعني مضروبه في الرقوم الستينية وتضرب تلك الأعداد فيه قياس ما سبق وإن كان أحد المضروبين بين بروجاً أو بروجاً وادواراً يجعل كلها درجات ونرفعها إلى المرفوع والمثاني إلى حيث بلغ ثم نضرب كما ذكرنا وميزان الأعمال هذه الرقوم يحصل بطرح نط من العدد مرة بعد آخرى والباقي كما سبق